Dr. Ilka Petermann – Arizona State University, Tempe/USA
Mit einem stetig anwachsenden Fanclub von 7.47 Milliarden Menschen und 5-50 Millionen anderen Arten an Acht-/ Vier/- und Zweibeinern, anderweitig kriechenden und bewurzelten Lebewesen hat die Erde einen bis heute einzigartigen Stand im sonst nicht gerade Superlativ-armen Universum. Wer von all diesen Kreaturen die letzte ist, die in 7-8 Milliarden Jahren das Licht ausmacht, wenn die Sonne als Weißer Zwerg einen kühlen Ruhestand genießt (Abb.1), ist zum Glück keinem bekannt und die allermeisten werden sich dabei auch noch lange in Geduld üben wollen. Doch wie die Eigenschaften der Sonne als Zwergstern aussehen werden und wie schwer sie dabei maximal werden kann, das kann schon heute abgeschätzt werden.
Sterne in der Größenordnung unserer Sonne haben es im Allgemeinen nicht besonders eilig. Nach 11 Milliarden Jahren in der kosmischen Hängematte (auf der sogenannten Hauptreihe, bei der alle Sterne Wasserstoff zu Helium verschmelzen), wird es 3 Milliarden Jahre lang etwas turbulenter: Aufblähen zum Roten Riesen während des zentralen Heliumbrennens auf einen Radius, welcher der heutigen Venusumlaufbahn (das knapp 170-fache ihres heutigen Radius) entspricht und enormer Anstieg der Leuchtkraft (mehr als das 2000-fache), dann eine Übergangsphase und schlussendlich der Einstieg ins stellare Rentendasein als ‚Weißer Zwerg‘: ‚Weiß‘, da mit 25.000 Kelvin die Oberflächentemperatur extrem hoch ist, und ‚Zwerg‘, da die geringe Leuchtkraft auf ein kleines Objekt (etwa Erdgröße) hinweist (Abb. 2). Da die Sonne zu diesem Zeitpunkt über keinerlei Brennstoff mehr verfügt, wird sie ohne Hast für die nächsten Jahrmilliarden immer weiter auskühlen. Und so fragen sich die geduldigen Bewohner ihres Lieblingsplaneten (das mag Einbildung sein): Wie schwer wird der Sonnenrest denn dann maximal sein können?
Die theoretische Höchstgrenze für Masse von Weißen Zwergen wurde in den 1930ern vom indisch-amerikanischen Physiker Subrahmanyan Chandrasekhar bestimmt. Auf der 18-tägigen Überfahrt von Indien nach England, er hatte ein Stipendium für ein Studium in Cambridge erhalten, ließ er das Unterhaltungsprogramm weitgehend außen vor und berechnete stattdessen, was das Nobelpreiskomittee 1983 als ‚theoretische Studien der physikalischen Prozesse, die für die Struktur und Entwicklung der Sterne von Bedeutung sind‘ würdigte – und heute auch als Chandrasekhar Grenzmasse für Weiße Zwerge bekannt ist.
Zur Herleitung jener Grenze muss auf die statistische Quantenmechanik zurückgegriffen werden, oder genauer auf die ‚Fermi-Dirac-Statistik‘ (nach Enrico Fermi und Paul Dirac). Vergleichbar der klassischen statistischen Physik bedient man sich solcher Methoden, da nur Aussagen über die Gesamtheit des Systems (aus sehr vielen Einzelteilchen) interessieren. Man untersucht ein Naturphänomen als das ‚große Ganze‘, die Details eines jeden Teilsystems werden nicht berücksichtigt. So braucht man zum Beispiel für eine makroskopische Linsensuppe nur ein einziges Rezept – und zum Glück nicht tausend individuelle Rezepte für jede einzelne Linse.
Die Quantenmechanik beschreibt Eigenschaften von Materie im Größenbereich von Atomen, die sich – anders als Materie unseres ’normalen‘ Alltags – nur ausgesprochen ungern in die Karten schauen lässt: Während zu unser aller Frustration der freundliche Polizist etwa unseren Ort und Impuls gleichzeitig fotografisch festhalten kann, hätten (sub-)atomare Teilchen die Lizenz zum Rasen. Das Pauli-Prinzip, eines der Grundpfeiler der Fermi-Dirac-Statistik, besagt, dass zwei sogenannte ‚komplementäre Eigenschaften‘ eines Teilchens niemals gleichzeitig genau bestimmt werden können – wie z. B. Ort und Impuls. Es bleibt immer eine ‚Unschärfe‘ bei der Bestimmung der Größen: je besser ich die eine Größe messe, es geht immer auf die Exaktheit des komplementären Partners. Das wäre so, als wenn ich an Halloween mit einer großen Schüssel Süßigkeiten auf die verkleideten Nachbarskinder warte und nun mit meiner Selbstdisziplin kämpfe. Im ersten Fall esse ich alle Süßigkeiten selber – nun weiß ich, wie alle Bonbons schmecken, aber ich habe keine Ahnung, wie die Freude der Besucher aussieht. Oder aber ich habe bemerkenswerte Selbstbeherrschung und esse gar keinen Bonbon. Jetzt kenne ich die Begeisterungsrufe aller kleinen Frankensteins und Hexen, habe aber gar kein Wissen über den Geschmack der Süßigkeiten (der verantwortungsbewusste Quanten-Halloweenfeierer geht natürlich den nobelpreisgoldenen Mittelweg und verkostet einen Teil der Leckereien – für die Wissenschaft! – und verteilt den anderen an die zukünftigen Physikerinnen und Physiker). Im Falle des Weißen Zwergs hat diese „Heisenberg’sche Unschärferelation“ (Fussnote A) handfeste Konsequenzen – und dann kennt man
auch die Höchstmasse eines Weißen Zwergs…
Zuerst aber muss man noch einmal genauer hinschauen, woraus die Sternmaterie aufgebaut ist. Die Antwort darauf ist eigentlich einfach. Aus denselben Grundzutaten wie wir selbst, die Bonbons von vorhin oder ein Hexenbesen: Protonen, Neutronen und Elektronen, zusammengefasst unter dem Begriff ‚Fermionen‘. Ihre Eigenschaften unterscheiden sich von der anderen großen Gruppe der Elementarteilchen, den Bosonen, in dem sie bei der Auswahl ihrer Gesellschaft etwas wählerischer sind. Während Bosonen (als Teilchen, die Fundamentalkräfte vermitteln) gleiche ‚Quantenzustände‘ einnehmen können, haben Fermionen eine größere Privatsphäre und können genau dies nicht.
Sollte einem nach der Lektüre dieses Artikels der Sinn nach einer Mahlzeit stehen, wäre die Wahl des Restaurants ein bisschen mit eben jener Quantenstatistik vergleichbar. Bosonen würden sich problemlos alle zusammen an die gleiche große Theke des Fastfood-Restaurants quetschen – mehr Besucher wären kein Problem, man rückt zusammen (genau das passiert letztendlich bei der Supraleitung oder einem Laser: alle Teilchen befinden sich im gleichen Quantenzustand und bilden damit alle zusammen einen makroskopischen Quantenzustand).
Fermionen dagegen bevorzugen es eleganter (Pauli’sches Ausschlussprinzip). Im Restaurant sitzen stets nur zwei Fermionen an entgegengesetzten Seiten eines Tisches. Ein dritter Gast am Tisch ist niemals erlaubt, das Sitzen auf derselben Seite erst recht nicht. Würden nun mehr Gäste hinzukommen, wäre die einzige Möglichkeit der Unterbringung draußen mehr Tische aufzubauen – auf der Veranda, im Garten, der angrenzenden Straße,… das würde die Neuankömmlinge zwar immer weiter vom Zentrum des Restaurants (dem energetischen ‚Grundzustand‘) fortbringen, aber für ein Fermion wäre dies die einzig akzeptable Lösung – die schon anwesenden Gäste würden jeden Neuankömmling mit strengem Blick auf die weit entfernten Plätze verweisen (jene würden ‚Zuständen höherer Energie‘ entsprechen, man muss ja länger laufen).
Und so kommen wir zum Dessert wieder zurück zum Weißen Zwerg (Abb. 3). Und dann zu dessen Höchstgrenze… Nach dem Abstoßen seiner Wasserstoff- und Heliumhülle liegt der ’nackte‘ Sternkern vor, der hauptsächlich aus Sauerstoff- und Kohlenstoffatomen (Fermionen) besteht und eine hohe Dichte und Temperatur aufweist. Ohne Energiequelle kann der Stern der Gravitation nun nichts mehr entgegensetzen und er fällt weiter in sich zusammen: die Dichte steigt an. Komprimierung bedeutet aber auch das Einsperren eines Teilchens auf einen engeren Raum – ein Umstand, nach dem es nach der Heisenberg’schen Unschärferelation einen Impuls und damit Energie bekommt! Mit diesen ausgestattet sucht sich unser Teilchen, ein Fermion, nun einen Sitzplatz. Die besten Tische (der Grundzustand) sind natürlich besetzt, es bleiben die Plätze weiter draußen. Vielleicht ist hier und da noch ein einzelner Sitzplatz frei, doch die strengen Blicke der vollbesetzten Fermiontische zwingen neue Teilchen immer weiter weg – es entsteht ein ‚Druck nach außen‘, der der weiteren Kompression entgegenwirkt. Und im Falle des Weißen Zwerg geht dieses Szenario eben bis zu einer Grenzmasse, der Chandrasekhar-Grenze, gut. Und als verantwortungsvolle Sterne reizen die heute bekannten Weißen Zwerge diese Grenze auch nicht aus – der weitaus größte Teil gibt sich mit Massen weniger als der Hälfte der Grenzmasse zufrieden, und nur ein einziger (RX-J0045.4) ist bekannt, der es immerhin auf knapp 90 Prozent davon bringt.
Langer Rede kurzer Sinn: die Chandrasekhar-Grenze liegt bei 1.457 Sonnenmassen (Fussnote B). Na, endlich!
Fussnote A(ber dann ist Schluss): (Unbestimmtheit des Ortes) * (Unbestimmtheit des Impulses) > Planck’sches Wirkungsquantum
Fussnote B(isschen mehr noch, das war’s dann aber wirklich): Chandrasekhar-Masse = 1.457 * (2 / x)2 Sonnenmassen mit x = Anzahl Protonen + Neutronen / Protonen
Für Kohlenstoff- und Sauerstoffatome ergibt sich x = 12/6 = 16/8 = und damit eine Chandrasekhar-Masse von 1.457 Sonnenmassen. Leicht abweichende Zusammensetzungen modifizieren diesen Wert. Weiße Zwerge, die aus den C-O-Kernen ausgebrannter Sterne entstanden, gelten aber als weitverbreiteter Typus.
